バイナリーオプションのコツ

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列

上の図がその性質を証明できると思います。
この図の場合は
1×1+1×1+2×2+…+13×13+21×21=21×34
がいえます。

【応用】フィボナッチ数列の一般項

右辺を左辺に移行すれば\[ F_-(\alpha+\beta) F_ +\alpha\beta F_n=0 \]となります。同じように元の漸化式も変形すると\[ F_-F_-F_n=0 \]となります。これらのことから、 $\alpha,\beta$ は\[ x^2-x-1=0 \]の解になることがわかります。これはちょうど漸化式で $F_$ を $x^2$ に、 $F_$ を $x$ に、 $F_n$ を $1$ に置き換えた式になっています。

これを解くと、\[ x=\frac <1\pm\sqrt<5>> \]となります。このプラスの方を $\alpha$ とし、マイナスの方を $\beta$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。
\begin F_-\alpha F_ &=& \beta(F_-\alpha F_n) \\[5pt] F_-\beta F_ &=& \alpha(F_-\beta F_n) \\[5pt] \end1つ目の式から、 $\$ は、公比が $\beta$ の等比数列であることがわかります。初項は \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \beta \endであることがわかります。よって、\[ F_-\alpha F_n=\beta^n \]となります。

また、2つ目の式から $\-\beta F_n\>$ は公比が $\alpha$ の等比数列であることがわかります。初項は
\begin F_2-\beta フィボナッチ数列 F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \alpha \endなので、\[ F_-\beta F_n=\alpha^n \]となります。

2つを並べると
\begin F_-\alpha F_n &=& \beta^n \\[5pt] F_-\beta F_n フィボナッチ数列 &=& \alpha^n \endとなり、下の式から上の式を引けば \begin (\alpha-\beta)F_n &=& \alpha^n-\beta^n \\[5pt] \endとなります。ここで、\[ \alpha-\beta=\frac フィボナッチ数列 >-\frac >=\sqrt \]なので、 \begin F_n &=& \frac フィボナッチ数列 <\sqrt>\left\ <\left(\frac>\right)フィボナッチ数列 ^n-\left(\frac >\right)^n\right\> \\[5pt] \endとなることがわかります。これが、フィボナッチ数列の一般項です。

フィボナッチ数列とは? 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, 1, 2, 3, 5, フィボナッチ数列 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

ウェブデザインに黄金比やフィボナッチ数列など数学的な要素を取り入れる方法

動画でXDを学ぶ総合学習プログラム「Adobe XD Trail」

数学ははるか昔から今日まで芸術や建築のデザインに利用されてきました。しかし、ウェブデザインではあまり利用されていませんでした。数学はクリエイティブなデザインを生産するツールです。これはすべてのデザインを数学に頼るものではなく、数学を友人としてみなすべきであるということです。
ここで紹介する数学的な要素は、すぐに実践できるようにすべてPSDファイルとしてダウンロードすることができます。
※PSDファイルは元記事にてダウンロード可です。

1. 黄金比(黄金四角形)

サイトのキャプチャ

サイトのキャプチャ

2. フィボナッチ数列

サイトのキャプチャ

サイトのキャプチャ

フィボナッチ数列を使用する際、ある特定の固定された幅のレイアウトでは注意が必要です。例えばページ幅を1,000pxとした場合、フィボナッチ数列を使用することが難しくなります。
ウェブのレイアウトにフィボナッチ数列を使用した理想的な数値には610px, 987px, 1,597pxがあり、これらの数値からおよその値を選択することになるでしょう。

どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について

$\begin&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end $

4 フィボナッチ数列の極限

5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本

5-1 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著

5-2 『高校数学+α:基礎と論理の物語』宮腰 忠 著

5-3 『総合的研究 数学II+B (高校総合的研究)』長岡 亮介 著

6 まとめ

その1.三項間漸化式の解き方
―1.特性方程式を解く。
―2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―3.式を整理して一般項を求める。

その2.フィボナッチ数列の一般項の求め方
―1.フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。
―2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―3.$a_$を消去して一般項$a_n$を求める。

その3.黄金比
―1.黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―2.$\phi=\dfrac>$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(フィボナッチ数列 1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―3.$\cos36^\circ=\dfrac<\phi>$、$\cos72^\circ=\dfrac<\phi^<-1>>$、$\cos108^\circ=\dfrac<1-\phi>$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―4.フィボナッチ数列$\$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_\dfrac>=\phi$となる。これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。

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フィボナッチ数列

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【2020年】算数オリンピック・ジュニアの解説を更新!!!算数星人の思い入れのある問題も登場


おすすめ書籍の紹介がかなり溜まってきましたので順に記事におこしていきたいと思います。(上の画像はWikiより)


見る人から見るとややクセのあるイラストが特徴的です。
もちろん生涯をつづった伝記の絵本なので内容自体はしっかりしていますが,大人が読むと思っている以上に情報量が少なく感じるかもしれません。

フィボナッチってどんな人?


レオナルド・フィボナッチ
中世イタリアの数学者
本名はまた別に存在し,フィボナッチは「ボナッチの息子」を意味する愛称をあらわします。
貿易の仕事で北アフリカ方面を巡り,そこで学んだアラビア数字をヨーロッパ・ローマで広めたことで有名になりました。当時のヨーロッパはローマ数字が使われていました。


フィボナッチの残した「算盤の書」ではアラビア数字だけでなく,エジプト式のわり算方法や単位のこと,利子のことなど幅広く数学の意見がまとめられているそうです。
わかりやすい例を挙げると分数の横線はフィボナッチが広めたそうです。


この算盤の書では,うさぎのつがい(オスとメス)に関する記述があり,これがみなさんのご存知のフィボナッチ数列につながります。

美しいフィボナッチ数列

フィボナッチ数列とは
直前の2つの数を足すと次の数になる数列です。


中学受験では有名すぎる数列ですね。

6番目までの2乗の数の和は
1+1+4+9+25+64=104となり,これは8×13=104になります。
数が大きくなっても同じことがいえます。


上の図がその性質を証明できると思います。
この図の場合は
1×1+1×1+2×2+…+13×13+21×21=21×34
がいえます。


フィボナッチ数と黄金比

黄金比 フィボナッチ数列
およそ 1:フィボナッチ数列 1.618
視覚的に美しく感じる比率で,ピラミッドや神殿,美術品など黄金比を意識したものが過去から数々残る。
身近なものとして名刺やディスプレイの長方形の比率などがある。

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