オプション取引とは

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列
<参考図書>
ジョセフ・ダグニーズ著、ジョン・オブライエン画
「フィボナッチー自然の中にかくれた数を見つけた人」
2010 さえら書房

フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る)

さて、この FibNum こと Rational の二要素からなるタプルは、左に \( \sqrt \) が付かない項を、右に \( \sqrt \) が付く項を格納することしよう。つまり (1, 1) と書けば \( 1 + \sqrt \) のこと。 (0, 1) と書けば \( \sqrt \) のこと。 (1 % 2, 1 % 3) と書けば \( \frac + \frac \sqrt \) のことを表す。

式を書き下す

OK。さすがにちょっと見づらいがまあ仕方ない。でも fibDiv として素直に除算を除算のまま書き下してしまった。除算は \( 0 \) で割れないとか面倒なこともあるので、乗算の形にしておきたい。

まず、 (1, 1) `fibDiv` (2, 0) は要するに \( \frac> \) のことだが、こんなものは \( \frac + \frac\sqrt \)、つまり (1 % 2, 1 % 2) としてしまえば良い。

後ろ側の \( \sqrt \) で割る処理は、逆数であるところの \( \frac<\sqrt> \) 、つまり \( \frac<\sqrt> \) を掛ければ良い。\( \frac<\sqrt> \) ってことは \( 0 + \frac\sqrt \) だから、ここでの表現では (0, 1 % 5) ってことだ。

演算子を実装する : 累乗

\( n \) が大きいとそのまま \(n – 1\) 回の乗算をすることになってちょっとばかり遅い。二乗の結果が使えるところはどんどんそれを使って計算させることにしよう。乗算の回数が最大でも \( 2 \log \) 回で済む。

演算子を実装する : 乗算

FibNum の乗算とは何かと言うと、\( (a + b\sqrt)(c + d\sqrt) \) ってことで、つまり、

\begin & & (a + b\sqrt)(c + d\sqrt) \\ &=& ac + ad\sqrt + bc\sqrt + 5bd \\ フィボナッチ数列 &=& (ac + 5bd) + (ad + bc)\sqrt \end

フィボナッチ数列|使い方やメリット・デメリット、使用例を解説

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フィボナッチ数列のメリット

メリット1.ルールがシンプル

メリット2.安定的に稼げる

メリット3.賭け金が緩やかに増える

メリット4.数列を自由に設定できる

フィボナッチ数列のデメリット

デメリット1.稼ぎにくい

デメリット2.負けが続いた場合、1度の勝利で損失額をすべて取り戻せるわけではない

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フィボナッチ数列の使用例

シミュレーション1.5勝5敗の場合

ゲーム回数賭け金勝敗配当損益
1回目1ドル×0ドル-1ドル
2回目1ドル×0ドル-2ドル
3回目2ドル×0ドル-4ドル
4回目3ドル6ドル-1ドル
5回目1ドル2ドル+1ドル
6回目1ドル2ドル+2ドル
7回目1ドル×0ドル+1ドル
8回目1ドル2ドル+2ドル
9回目1ドル×0ドル+1ドル
10回目1ドル2ドル+3ドル

シミュレーション2.1勝9敗の場合

ゲーム回数賭け金勝敗配当損益
1回目1ドル×0ドル-1ドル
2回目1ドル×0ドル-2ドル
3回目2ドル×0ドル-4ドル
4回目3ドル×0ドル-7ドル
5回目5ドル×0ドル-12ドル
6回目8ドル×0ドル-20ドル
7回目13ドル×0ドル-33ドル
8回目21ドル×0ドル-54ドル
9回目34ドル×0ドル-88ドル
10回目55ドル110ドル-32ドル

フィボナッチ数列 まとめ

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厳選!フィボナッチ・フルコース~フィボナッチ数のマニアックな世界へ~

ただし、\(F_1=F_2=1\)とします。これは漸化式といって、前の番号の数の情報によって新たな数が構成されていく仕組みになっています。こうして得られる数列をフィボナッチ数列、そしてフィボナッチ数列に現れる数をフィボナッチ数と呼びます。
フィボナッチ数は前2つの数を足すことによって構成していきます。例えば、1番目と2番目は\(1\)であることから3番目は\(1+1=2\)。4番目は\(フィボナッチ数列 1+2=3\)、5番目は\(2+3=5\)となります。最初のいくつかのフィボナッチ数を求めてみましょう。

2.フィボナッチ・フルコース

①.フィボナッチ数の整除性(オードブル)

\(p\) を\(5\)で割って\(1\)または\(4\)余る素数とする(たとえば\(11\), \(フィボナッチ数列 19\)など)。このとき\(p-1\)離れたフィボナッチ数たちの差は必ず\(p\)の倍数になる。つまり、以下が成り立つ。

これは中々エキゾチック。ちょっと確かめてみましょう!
\(p=11\) とします。適当に8番目のフィボナッチ数\(F_8=21\)をとってきましょう。定理によると\(p-1=10\)個進んだ18番目のフィボナッチ数\(F_\)を見てみます。すると\(F_=2584\)。結構大きい数になりますね。果たして差は\(11\)の倍数になるのでしょうか?さっそく計算してみましょう。

$$F_-F_9=4181-34=4147=11 \times 377$$

②.Lameの定理(スープ)

なんと、Euclidの互除法の回数は\(5n\)回で評価できるのです。しかも、隣り合うフィボナッチ数のペアの場合、最も作業回数が多い(めんどくさい)とのこと!
例えば、\(144\)と\(89\)のペアを考えて互除法を行いましょう。このとき小さい方の\(89\)の桁は\(2\)桁なので、定理によると\(5\times 2=10\)回も互除法を行わなければならないようです。実際に

階段上りとフィボナッチ数列と場合分け

高田 いさむ講師の記事

階段上りとフィボナッチ数列1

次の図のように、6段からなる階段があります。
この階段をいちばん上まで上がるのに、1歩で1段、
または1歩で2段のどちらかの方法で上がります。
階段の上がり方は全部で何通りありますか。

これは中学受験算数の入試ではとても有名な問題です。
受験ドクターの根本原理では、実践編246番のカードに出てきますよ!
では、さっそくこの問題の解説から今回は始めましょう。
「場合の数」を解くうえで、とても大切な考え方が出てきます。
それが何かを意識しながら、読んでみてください。

まず、この階段上りの問題を見て「あー、フィボナッチ数列でしょ!」と即答できる人はよく勉強しています。
お子様がすぐにわかるようでしたら、誉めてあげてくださいね!
フィボナッチ数列というのは、 フィボナッチ数列
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89 …
というように、前の2つの数の和が次の数になる数列です。
先ほどの問題のような、「1歩で1段or 2段」で階段を上がる方法というのは、
1段の場合は1通り、2段の場合は2通り、3段の場合は3通り、4段の場合は5通り、5段の場合は8通り…
というようにフィボナッチ数列が答えとして現れます。
ですから、 6段の場合の答えは、 13通り が正解です。
ではなぜ、答えがフィボナッチ数列になるのでしょう?
それがきちんと説明できますか?

階段上りとフィボナッチ数列2

ここまでは簡単ですね。
問題は、3段のときをどう考えるかです。
地道に数えても3通りとわかるのですが、でもそれだと、もっと段数が増えたときに困ります。
そこで、次のように考えてみます。

階段上りとフィボナッチ数列3

わかりますか?
ポイントは、 「最初の選択」で場合分けしていること です。
最初に「1段」を選択した場合は、残りは2段です。
最初に「2段」を選択した場合は、残りは1段です。
ですから、残り2段の2通りと、残り1段の1通りを足して、3段の上がり方は3通りと考えるのです。
これが理解できると、あとは何段になっても、これを続けていけばいいとわかります。

階段が4段あるなら、 フィボナッチ数列
最初に「1段」を選択した場合は、残りは3段で3通り
最初に「2段」を選択した場合は、残りは2段で2通り
と考えて、3+2=5通りです。

階段が5段あるなら、
最初に「1段」を選択した場合は、残りは4段で5通り
最初に「2段」を選択した場合は、残りは3段で3通り
と考えて、5+3=8通りです。

わかってしまえばこれだけではあるのですが、ではこの問題のポイントはどこにあるでしょう?
それは、 「場合分け」 です。
「場合の数」の難しい問題では、適切に「場合分け」ができるかが勝負のカギを握ります。
「場合分け」をうまくできるかで、問題が簡単にも難しくもなりますね。
しかも、適切な「場合分け」というのが、必ずしも自分にとってわかりやすい「場合分け」とも限りません。
経験やセンスが必要な部分もあるので、ここが「場合の数」の学習で一番大変なところです。
見事な「場合分け」の仕方を色々と学んで、自分の中に取り入れていくことが大切になりますね。
階段上りの問題の場合は、 最初の選択が「1段」か「2段」かで「場合分け」した のが素晴らしい発想でした。

さて、ではここからは、いよいよ「プレゼント交換」の問題を考えてみましょう。
先ほどの階段上りの問題と、いったいどんな関係があるでしょうか?
まず最初に、「プレゼント交換」を2人~7人で行った場合の答えを発表します。
答えは以下のようになります。

2人の場合→ 1通り
3人の場合→ 2通り
4人の場合→ 9通り
5人の場合→ 44通り
6人の場合→ 265通り
7人の場合→1854通り

4人の場合は、前回樹形図を書いて考えましたね。
そして、 6人の場合の答えは 265通り が正解です。
中学入試でも、この結果だけは覚えるように教えている塾もあるようですね。

しかし、人数が増えていくと、急激に数が増えて行きますね。
ではこの数字を見て、どんな規則性があるかわかりますか? フィボナッチ数列
もしこの規則性を見抜けたら、数のセンスがかなり高い方です。
ヒントはフィボナッチ数列なのですが…

4人の場合→ ( 1+ 2)×3= 9
5人の場合→ ( 2+ 9)×4= 44
6人の場合→ ( 9+ 44)×5= フィボナッチ数列 265
7人の場合→ (44+265)×6=1854

わかりますか?
フィボナッチ数列と同じで、 前のかっこの中が直前の答えの2つの数の和 になっていますね。
しかし、フィボナッチ数列と違うのは、その後に数をかけていることです。
しかも、その数は (人数-1) になっています。
これはいったいどういう意味なのでしょう?

さあ、ここからが「プレゼント交換」の問題の解説です。
ポイントは「場合分け」です!
しかも、今回は 2段階で「場合分け」 をするのです。

4人での「プレゼント交換」で考えてみましょう。
まず、A、B、C、Dの4人がいて、それぞれが持ってきたプレゼントがa、b、c、dとします。
そして、まずAがbをもらったとします。
これが「場合分け」の第1弾です。
すると、残りの状況は以下のようになりますね。

階段上りとフィボナッチ数列4

ここで「場合分け」の第2弾です!
Bがaをもらうかもらわないか 、でさらに「場合分け」するのです。

階段上りとフィボナッチ数列5

次に、 Bがaをもらわない場合 を考えます。
すると、状況としては 3人で交換する場合と同じ になります。
この意味がわかりますか?
ここがこの問題の最大のポイントです!
昔、初めてこの問題の解説を読んだとき、ここを理解するのに僕は1時間くらい考えました…
すぐに納得いかなくても大丈夫なので、落ち着いて考えてみてください。

階段上りとフィボナッチ数列6

階段上りとフィボナッチ数列7

Bがaをもらってはいけない と考えるなら、それは Bの立場とAの立場を入れ替えることと同じ です。
aとbのプレゼントの方を入れ替えると考えても良いです。
いずれにしても、3人で交換するのと同じことになります。
ですから、Aがbをもらい、Bがaをもらわない場合は、3人で交換する場合の2通りと同じなのです。

ここまでが理解できると、Aがbをもらう場合については、1通り+2通りで3通りになることがわかります。
ここが、 フィボナッチ数列と同じ部分 ですね。
そして、Aがcをもらう場合も、Aがdをもらう場合も、まったく同じように考えて、それぞれ3通りあります。
ここが、 (人数-1)になる部分 です。
Aがaをもらう場合はそもそも考えないので、その分が-1なのですね。
ですから、4人で「プレゼント交換」する場合の答えは、3通り×3通り=9通りと求まるのです。

まず、Aがbをもらう場合を考えます。
そして、Bがaをもらう場合は、3人の場合と同じで2通り。
さらに、Bがaをもらわない場合は、4人の場合と同じで9通り。
よって、 Aがbをもらう場合は、あわせて11通り です。
Aがcをもらう場合も、dをもらう場合も、eをもらう場合も、同様に11通りです。
ですので、11通り×4通りで44通りが答えになるのです。

6人なら、同様に考えて
(9+44)×5=265
となるので、答えは265通りになります。

いかがでしたか?
最後はちょっと難しかったでしょうか?
「プレゼント交換」の問題を公式化するなら、
(直前の2つの答えの和)×(人数-1)
となりますね。
高校数学なら、

階段上りとフィボナッチ数列8

という形で表現します。
もちろん、こんなことまで小学生が理解する必要はありません。
ただ、「場合の数」は中学でも高校でもやりますし、大学入試でも必須だということは知っておいてください。

ということで、今回は以上です。
難しいところもあったかもしれませんが、お伝えしたかったことは、「場合分け」の重要性です。
そして、「場合分け」がうまくなりたいなら、見事な「場合分け」の方法に触れてください、ということです。
「場合の数」は中学受験の算数でも重要分野です。
難関中学の入試問題では、高校生でも苦戦するような問題が出題されたりもします。
ぜひ、難しい問題でもあきらめずに取り組んでみてください!

フィボナッチ数列板
~ “Fibonacci numbers board” ~

<ウサギのつがい(組)の増え方>
(1)1組のウサギは産まれて1ヶ月で大人になり、2ヶ月後から1組のウサギを産む。
(2)ウサギは死なない。
スタートは赤ちゃんウサギ1組です。1ヶ月後は大人ウサギ1組になり、2ヶ月後は大人ウサギ1組と赤ちゃんウサギ1組で計2組、3ヶ月後は大人ウサギ2組と赤ちゃんウサギ1組で計3組、4ヶ月後は大人ウサギ3組と赤ちゃんウサギ2組で計5組…というふうに増えていきます。
また、フィボナッチ数は自然の中に実際に存在していることで有名です。ひまわりや松ぼっくり、パイナップルの螺旋の数、多くの花びらの枚数がフィボナッチ数になっています。

さらに、フィボナッチ数にはおもしろい性質があります。1つの数をその手前の数で割ると、 だんだん「黄金比=1.618 ・・・ 」と表される数に近づいていくのです。最初は1/1=1からスタートしますが、3/2=1.5、 5/3=1.666 ・・・ 、 8/5=1.6、 13/8=1.625と進み、あっという間に1.618 ・・・ に近くなっていきます。
フィボナッチ数の魅力をいくつか紹介しました。興味を持ってくださった方はぜひ調べてみてください。
(数学科 園田毅)

下のグラフは、1つのフィボナッチ数をその手前の数で割ると、だんだん「黄金比=1.618 ・・・ フィボナッチ数列 」と表される数に近づいていく様子をGeoGebraで描いたものです。y座標がだんだん1.618 ・・・ に近づいていきます。

<参考図書>
ジョセフ・ダグニーズ著、ジョン・オブライエン画
「フィボナッチー自然の中にかくれた数を見つけた人」
2010 さえら書房

三浦伸夫著
「フィボナッチ アラビア数学から西洋中世数学へ」
2016 現代数学社

“フィボナッチ数列 Fibonacci numbers board”
We put the board with “Fibonacci numbers” written on it on the bookshelf on the third floor in our math area.
Fibonacci numbers (sequence) are below.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ・・・
The previous 2 numbers make the present number. For example,
1+1 = 2、5+8 = 13、21+34 = 55 etc.
Fibonacci introduced these numbers as the problem with フィボナッチ数列 rabbits in his book ‘Liber Abaci’ (1202). The contents are as follows.

Way of increasing rabbit pairs
(1) A pair of rabbit become an adult 1 month after their birth and have a pair of babies.
(2) Rabbits never die.
First, there is 1 pair of baby rabbits. They become 1 adult pair 1 month after birth, become 2 pairs including 1 adult pair and フィボナッチ数列 1 baby pair 2 months after, become 3 pairs including 2 adult pairs and 1 baby pair 3 months after, and become 5 pairs including 3 adult pairs and 2 baby pairs 4 months after.

Also, Fibonacci numbers are famous for its presence in nature. The numbers of spiral in a sunflower, a pine corn and a pineapple, フィボナッチ数列 and the numbers of many kinds of flower petals are Fibonacci numbers.
Besides, there are interesting characteristics in Fibonacci numbers. The answer of the value what a Fibonacci number divided by the second number
gets close to the golden ratio. 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666 ・・・ ,
8/5 = 1.フィボナッチ数列 6, 13/8 = 1.625, it is フィボナッチ数列 getting close to 1.618・・・ in this way.
We introduced the fascination of Fibonacci numbers. Let’s research them if you take an interest in them.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

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